Včera som obedoval s kolegom Danom Ševčovičom, ktorý spomínal, že videl, ako sa oválne podnosy v našej jedálni prepadli na stojane, kam ich odovzdávame. To ho doviedlo na nasledujúcu úlohu, o ktorej sme sa chvíľu zhovárali.
Majme elipsu v euklidovskej rovine. Treba ukázať, že keď ju "vtesnáme" medzi ľubovoľné dve rovnobežky p,q (t.j. obe priamky sú oporné k elipse a tá je v páse medzi nimi), tak vzdialenosť týchto rovnobežiek d nie je menšia ako dĺžka vedľajšej osi.
Dá sa samozrejme ukázať viac o tejto vzdialenosti. Čo ešte by ste vedeli? Dodatok k tejto úlohe: pozrieť sa na analogickú situáciu (s rovnobežkami, nie "vtesnaním") v prípade hyperboly a paraboly.
piatok, januára 23, 2009
Podnosy v jedálni
Prihlásiť na odber:
Zverejniť komentáre (Atom)
8 komentárov:
Ahoj Palo, som rad, ze si sa opat aktivizoval a to dokonca ulohou! Ja ju sice nebudem riesit (som na to uz prilis pokazeny vlastnymi hodnotami psd maic :-), ale mam jeden podobny problem:
V rovine mame nakreslene rovnobezky s rozostupmi L a na tuto rovinu nahodne z velkej vysky hodime elipsu s poloosami dlzok a,b, pricom 2a aj 2b je mensie ako L. (T.j. priemer elipsy je mensi ako L.) S akou pravdepodobnostou tato elipsa prekryje niektoru z rovnobeziek?
A ta elipsa môže byť ľubovoľná alebo jedna os je rovnobežná s danými priamkami? A stred elipsy môže byť hocikde v rovine alebo len v páse vytvorenom rovnobežkami?
Mne táto Radova úloha silne pripomína jednu klasickú úlohu z geometrickej pravdepodobnosti, ktorej sme sa kedysi na cvičeniach z pravdepodobnosti a štatistiky venovali - Aká je pravdepodobnosť že úsečka dĺžky d pretne rovnobežku, keď ju hádžeme na osnovu rovnobežiek s rozostupmi L. Nepamätám si už presne vzorec, ale viem, že v ňom vystupovala konštanta pí (to súvisí s otáčaním tej úsečky). A práve preto sa toto hádzanie úsečky dá (pri znalosti onoho vzorca) použiť na vypočítavanie desatinných miest pí (Buffonova ihla).
No a úsečka je vlastne špeciálny prípad "degenerovanej elipsy", v ktorej jedna poloos má dĺžku 0. Vyjadriť tú pravdepodobnosť nejako presnejšie sa radšej pokúšať nebudem, každopádne už teraz vidno, že v tom vzorci sa bude ako špeciálny prípad dať vyjadriť tá známa pravdepodobnosť s úsečkou...
Palo: No nenapísal som to najjasnejšie, uznávam. Takže trochu presnejšie:
V rovine máme nekonečne veľa rovnobežiek, pričom každá dvojica susedných rovnobežiek je od seba vzdialená L cm. (Ako nekonečný linajkovaný papier.)
Na túto rovinu hodíme z veľkej výšky spomínanú elipsu s poloosami a,b (2a menšie ako L aj 2b menšie ako L). Elipsa sa pri hode otočí o náhodný uhol a jej stred dopadne v náhodnej polohe medzi priamkami. (Presnejšie: uhol zrotovania má rovnomerné rozdelenie na intervale (0,2π) a vzdialenosť stredu elipsy od najbližšej z priamok má rovnomerné rozdelenie na intervale (0,L/2).)
Otázka je, s akou pravdepodobnosťou prekryje elipsa niektorú z priamok.
Rasťo: Je to presne ako píšeš úloha analogická úlohe o Buffonovej ihle, ale namiesto ihly hádžeme elipsu. Podobne, ako v klasickom zadaní problému o Buffonovej ihle predpokladáme ihlu, ktorá nie je dosť dlhá aby preťala naraz dve priamky, tak aj tu predpokladáme elipsu, ktorá nie je dosť veľká na to, aby súčasne prekryla dve priamky.
Ešte by som mal určite dodať, že presný výsledok sa nedá napísať pomocou peknej formulky, len pomocou integrálu. Je to skrátka už úloha pre pokročilejších riešiteľov.
No uz je mi to jasne. Bol som v zajati svojich dvoch rovnobeziek, aj ked mi to mohlo dojst. Ulohu s ihlou si aj ja pamatam este zo studentskych cias.
Tak som zvedavy, ci to mam dobre:
Staci to spravit pre jeden pas, zvysne su analogicke. V jednom pase je situaci a symetricka pre body blizsie k jednej alebo druhej priamke.
Vychadza mi, ze pre stred elipsy vo vzdialenosti d, kde b<=d<=a treba spocitat dlzku l(a,b,d) elipsy mimo kruznice s polomerom d a stredom v strede elipsy a podelit dlzkou elipsy l'(a,b). Nasledne by som to vynasobil pravdepodobnostou, ze stred bude vzdialeny d od najblizsej priamky, co je 2/L. Pre stred, kde d<=a mame isty zasah. Takze ked to dam dokopy, tak to bude cosi tvaru:
2*(\int_{a}^{b} 2/L l(a,b,x)/l'(a,b) dx +
a*2/L)
No a vynasobime to este dvoma za symetriu.
Tie l a l' su elipticke integraly, ktore sa vo vseobecnosti nedaju vyjadrit v elementarnych funkciach.
Myslim, ze moje riesenie nie je spravne. Zamenil by som pod integralom vyraz l(a,b,d)/l`(a,b) za pomer dlzky l''(a,b,d)/(2\pi d), kde l''(a,b,d) je dlzka kruznice s polomerom d a stredom v strede elipsy vnutri tejto elipsy. V menovateli je potom dlzka celej tejto kruznice. Takze vysledok by bol
2*(\int_{a}^{b} 2/L l''(a,b,x)/(2\pi x) dx +
a*2/L)
K tej povodnej ulohe: mne sa zda, ked vynechame odpornost, err, opornost, ze tak sa aj dost siroka elipsa vtesna medzi lubovolne blizke nezhodne rovnobezky, staci ju strcit medzi ne ako list do schranky. :-P
To nechcem len vyryvat. Myslim, ze tak to onehdy mohlo vzniknut aj s tymi podnosmi, ze boli nakrivo, nie vodorovne...
Zverejnenie komentára